Latihan soal dan pembahasan : vektor

 Vektor, materi ini adalah materi dasar yang sangat penting di fisika. Besaran vektor akan sering ditemui dalam berbagai bab yang lain, latihan soal berserta pembahasannya secara lengkap dan terperinci terkait tentang materi vektor yang bisa digunakan untuk pendalaman materi atau soal-soal ulangan harian.

Soal pilihan ganda

Soal nomor 1
Gambar di bawah ini merupakan penjumlahan vektor secara segitiga

Gambar yang resultan vektornya sama dengan nol adalah ....
A. (1)
B. (2)
C. (3)
D. (4)
E. (5)
Kunci jawaban : “E”

pembahasan soal nomor 1: 

Perhatikan tanda panah masing-masing gambar, hanya gambar “E” yang arah panahnya berkelanjutan (pangkal panah disusul kemudian arah panah) hal ini menunjukkan bahwa tidak ada resultan gaya pada gambar tersebut.
Resultan gaya biasanya ditunjukkan oleh gambar ketika ada dua arah panah bertemu pada satu titik

Soal nomor 2
Sebuah benda bergerak dari titik P ke Q dan berhenti di titik R, gambar yang menunjukkan benda berpindah sejauh 13 satuan adalah ....

Kunci jawaban : “B”

pembahasan soal nomor 2:

Perpindahan adalah perubahan posisi dari awal ke akhir
Jurus jitu:
Gunakan aturan phytagoras, dimana perpindahan adalah sisi terpanjang dari segitiga siku-siku Angka phytagoras adalah

Soal nomor 3
Dari kelima diagram vektor berikut ini:

Yang menggambarkan D = A + B + C adalah ....
A. (1)
B. (2)
C. (3)
D. (4)
E. (5)
Kunci jawaban : “E”

pembahasan soal nomor 3: 

Cara menggambar metode poligon ketika dua vektor dijumlahkan adalah dengan meneruskan gambar vektornya (tanda panah vektor diteruskan dengan pangkal vektor selanjutnya) kemudian resultan vektornya merupakan garis vektor yang ditarik dari titik awal (sebagai pangkal) menuju titik akhir (sebagai arah panah).

Soal nomor 4
Seorang melakukan perjalanan menggunakan mobil berangkat dari kota A ke kota B sejauh 30 km arah utara, dilanjutkan ke kota C arah timur 60 km dan akhirnya sampai di kota D sejauh 110 km arah selatan, perpindahan mobil dari A sampai D adalah ....
A. 200 km
B. 140 km
C. 120 km
D. 100 km
E. 80 km
Kunci jawaban : “D”

Pembahasan soal nomor 4:

Soal di atas dapat diilustrasikan sebagai berikut

Untuk menentukan resultan perpindahan dari kota A ke kota D perhatikan segitiga yang berwarna kuning pada gambar di atas, dengan menggunakan rumus phytagoras kita dapat menentukan resultannya sebagai berikut
R² = 60² + 80²
R² = 3600 + 6400
R² = 10.000
R = 100 km
Jadi perpindahan yang dialami oleh mobil tersebut adalah 100 km

Soal nomor 5
Sebuah benda mula-mula di titik A (0,0) kemudian bergerak selama 2 sekon ke titik B (4,2), selanjutnya bergerak lagi selama 3 sekon ke titik C (8,6). Kecepatan rata-rata gerak benda adalah ....

A. 1 m.s^-1
B. 1,5 m.s^-1
C. 2 m.s^-1
D. 2√2 m.s^-1
E. 4,75 m.s^-1
Kunci jawaban : “C”

pembahasan soal nomor 5:

soal di atas dapat diilustrasikan seperti gambar di bawah

Kecepatan benda ditentukan dengan persamaan
v = s / t
dimana s adalah perpindahan yang dialami benda. Perpindahan merupakan jarak terpendek yang diukur dari titik awal ke titik akhir, berdasarkan gambar diatas kita dapat menggunakan persamaan phytagoras sebagai berikut:
s² = 8² + 6²
s = 10 m (ingat angka cantik untuk phytagoras : 6, 8, 10) sehingga kecepatan benda adalah
v = s/t
v = 10/5
v = 2 m.s^-1

Soal nomor 6
perhatikan gambar berikut

 

Pernyataan nilai resultan berdasarkan gambar di atas yang paling tepat adalah ...
A. R₁ = R₂
B. R₂ = R₃
C. R₃ = R₁
D. R₁ < R₂
E. R₂ > R₃
Kunci jawaban : “C”

pembahasan soal nomor 6:

Resultan gambar (1)

Resultan gambar (2)
Proyeksikan terlebih dahulu gaya 4N (yang atas dan yang bawah) seperti gambar berikut

F_bx = F_cx = 4 sin 30⁰
F_bx = F_cx = 4 . ½
F_bx = F_cx = 2 N (ke kanan)
F_by = -F_cy (perhatikan bahwa besar gaya dan sudutnya sama tapi arahnya berlawanan) Sehingga resultan sumbu y sama dengan nol
R₂ = ΣF_x
R₂ = F_a + F_bx + F_cx
R₂ = 7 + 2 + 2
R₂ = 11 N

Resultan gambar (3)
R₃² = 3² + 4²
R₃² = 9 + 16
R₃² = 25
R₃ = 5N
Jadi pernyataan yang tepat adalah R₁ = R₃

Soal nomor 7
Sebuah truk bergerak ke utara dengan kecepatan 20 m/s kemudian berbelok ke barat dengan kecepatan yang sama. Perubahan kecepatan yang terjadi pada truk tersebut adalah ....
A. 40 m/s ke arah barat laut
B. 20√2 m/s ke arah barat laut
C. 40 m/s ke arah barat daya
D. 20√2 m/s ke arah barat daya
E. 40 m/s ke arah barat
Kunci jawaban : “B”

pembahasan soal nomor 7:

Soal di atas dapat diilustrasikan sebagai berikut

Berdasarkan gambar dapat diketahui
v₁ = 20 j
v₂ = -20 i
jadi perubahan kecepatannya dapat ditentukan dengan cara
Δv = v₂ – v₁
Δv = -20i- 20j

jadi besar perubahan kecepatannya adalah 20√2 m/s dengan arah ke barat laut

Soal nomor 8
Nilai maksimum dan minimum dari resultan dua vektor secara berturut – turut adalah 17 unit dan 7 unit. Jika kedua vektor ini saling tegak lurus maka besar resultan vektornya sekarang adalah ....
A. 24
B. 18
C. 15
D. 13
E. 10
Kunci jawaban: “D”

pembahasan soal nomor 8:

Misalkan dua vektor tersebut adalah vektor A dan vektor B, maka nilai resultan maksimum dan resultan minimum didapatkan ketika.
A + B = 17 ... (1)(resultan maksimum)
A – B = 7 ... (2) (resultan minimum)
Dengan menggunakan metode eliminasi maka didapatkan
2A = 24
A = 12 unit... (3)
Substitusikan ke pers (1)
12 + B = 17
B = 5 unit
Ketika kedua vektor ini saling tegak lurus, maka besar resultannya dapat ditentukan dengan menerapkan rumus phytagoras

R = √(12)² + (5)²
R = √169
R = 13 unit

Soal nomor 9
Dua buah gaya masing-masing F₁ = 3i + bj dan F₁ = 9i + 12j bekerja pada sebuah benda yang sama. (i dan j adalah vektor unit sepanjang sumbu +x dan sumbu +y). Agar besar resultan gaya yang bekerja pada benda bernilai minimum, maka besar b adalah ....
A. 0
B. -12
C. 9
D. -10
E. 4
Kunci jawaban : “B”

pembahasan soal nomor 9:

Besarnya resultan gaya dapat ditentukan dengan persamaan R² = R_x² + R_y²
Resultan gaya akan bernilai minimum jika salah satu komponen gayanya ditiadakan. Perhatikan bahwa nilai b pada gaya pertama (F₁) terletak pada sumbu y (ditandai dengan vektor unit j) oleh karena itu agar resultan kedua gaya ini bernilai minimum maka besar b harus sama dengan besar komponen gaya pada sumbu y untuk F₂ akan tetapi berlawanan arah. (komponen sumbu y pada F₂ sebesar 12j) sehingga besar nilai b adalah -12j

Soal nomor 10
Seorang anak berdiri di tepi sungai (titik A), ia ingin pergi ke seberang (titik B) dengan menggunakan sebuah perahu. Jika kecepatan aliran air sungai sebesar u seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut.

 

Kecepatan minimum perahu relatif terhadap aliran sungai agar anak tersebut sampai di titik B adalah ....
A. 2√2u
B. 2u
C. √2u
D. u/√2
E. u/2
Kunci jawaban “A”

pembahasan soal nomor :

misalkan kecepatan perahu adalah v dan karena adanya aliran air sungai maka perahu tidak dapat secara langsung di arahkan ke titik B, ia harus membentuk sudut tertentu terhadap aliran air sungai agar bisa tepat sampai di titik B (dengan kecepatan perahu terhadap aliran air sungai). Maka kecepatan perahu relatif terhadap aliran air sungai adalah resultan antara kecepatan perahu dengan kecepatan aliran air sungai (v_b), seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut.

 

Berdasarkan gambar tersebut, kita dapat mengetahui
v_x = v cos θ
v_y = v sin θ
sehingga

 

agar kecepatan bernilai minimum, maka nilai sin (45⁰+θ) harus bernilai maksimal (sin 90⁰=1), sehingga
sin (45⁰+θ) = sin 90⁰
45⁰+θ = 90⁰
θ = 45⁰
sehingga persamaan di atas dapat ditulis

Jadi, kecepatan minimum yang diperlukan perahu agar dapat menyeberang ke titik B adalah u/√2

Soal nomor 11
Sebuah peluru ditembakkan dari meriam dengan membentuk lintasan seperti pada gambar berikut.

Jika kecepatan peluru di titik A sebesar (2i + 3j) m/s, maka kecepatan peluru saat tiba di titik B adalah ....
A. -2i - 3j
B. 2i - 3j
C. -2i + 3j
D. 2i + 3j
E. tidak bisa ditentukan
Kunci jawaban : “B”

pembahasan soal nomor 11: 

Untuk mempermudah dalam memahami soal, maka kita dapat menguraikan komponen vektor kecepatan pada titik A dan titik B seperti gambar di bawah ini.

Berdasarkan gambar di atas, maka kita dapat mengetahui ternyata hanya komponen kecepatan terhadap sumbu y yang berubah arahnya sedangkan komponen kecepatan terhadap sumbu x tidak berubah arah, sehingga kecepatan di titik B sebesar 2i - 3j.

Soal nomor 12
Sebuah vektor p sebesar 3 memiliki arah ke utara dan vektor q sebesar 7 memiliki arah ke timur. Jika |p + q| adalah besar dari resultan vektor p + q, pernyataan di bawah ini yang benar adalah ...
A. |p + q| > 10
B. |p + q| = 10
C. |p + q| = √58
D. |p + q| = √10
E. |p + q| = 4
Kunci jawaban : “C”

pembahasan soal nomor 12: 

Karena vektor merupakan besaran yang memiliki nilai dan arah, maka dalam menentukan resultan vektornya perlu diperhatikan arahnya. oleh karena itu jangan terkecoh dengan angkanya, sehingga kita perlu menggambarkan vektor tersebut dalam sumbu x-y seperti gambar berikut.

Arah utara sebagai sumbu y sedangkan arah timur sebagai sumbu x, sehingga untuk menentukan besar resultan vektor p dan vektor q dengan menerapkan rumus phytagoras sebagai berikut

Jadi besar resultan vektor p dan q adalah √58

Soal nomor 13
Dua vektor masing-masing p = 2i + 2j dan q = 2i - 2j. (i dan j merupakan unit vektor sepanjang sumbu +x dan +y). Sudut yang terbentuk terhadap sumbu x untuk p - q adalah ....
A. 0⁰
B. 45⁰
C. -90⁰
D. 90⁰
E. -45⁰
Kunci jawaban : "D"

pembahasan soal nomor 13: 

p – q = (2i + 2j) – (2i – 2j)
p – q = 2i + 2j – 2i + 2j
p – q = 4j
karena hasil dari p – q hanya berada di sumbu y maka sudut yang terbentuk terhadap sumbu x positif sebesar 90⁰.

Soal nomor 14
Sebuah benda bermassa 2 kg bergerak dalam bidang x-y. Tiba-tiba benda tersebut meledak menjadi 3 keping. Keping pertama dengan massa 0,4 kg bergerak dengan kecepatan v₁ = 2i + 3j. Keping kedua dengan massa 0,9 kg bergerak dengan kecepatan v₂ = 4i - 2j. Keping ketiga dengan massa 0,7 kg bergerak dengan kecepatan v₃ = -5i - 4j. Tentukan vektor kecepatan benda sebelum meledak. (petunjuk : gunakan hukum kekekalan momentum P_awal = P_akhir, dimana P = mv)
A. 0,45i + 1,7j
B. 0,45i - 1,7j
C. 0,9i - 3,4j
D. 0,9i + 3,4j
E. i - 3j
Kunci jawaban: “B”

pembahasan soal nomor 14:

Berdasarkan hukum kekekalan momentum untuk sumbu x
P_awal = P_akhir
m v_x = m₁ v_1x + m₂ v_2x + m₃ v_3x
2 v_x = 0,4 . 2 + 0,9 . 4 + 0,7 . (-5)
2 v_x = 0,8 + 3,6 – 3,5
2 v_x = 0,9
v_x = 0,45 i

Berdasarkan hukum kekekalan momentum untuk sumbu y
P_awal = P_akhir
m v_y = m₁ v_1y + m₂ v_2y + m₃ v_3y
2 v_y = 0,4 . 3 + 0,9 . (-2) + 0,7 . (-4)
2 v_y = 1,2 – 1,8 – 2,8
2 v_y = -3,4
v_y = -1,7 j

jadi vektor kecepatan benda sebelum meledak adalah v = 0,45i – 1,7j

Soal Esai

Soal nomor 1
Dua buah vektor memiliki arah seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut

Gambarkan resultan vektor yang memenuhi persamaan (a) d₁ + d₂, (b) d₁ - d₂, (c) d₂ – d₁ !

pembahasan soal nomor 1: 

Untuk menggambarkan resultan vektor ketika arah vektor berubah menjadi berlawanan arah dari sebelumnya (menjadi negatif) maka terlebih dahulu kita ubah arah vektor awalnya. Seperti pada gambar berikut

Soal nomor 2
Dua buah vektor masing-masing A = 4i + 7j dan B = 5i – 2j. Tentukan (a) A + B (b) A – B (c) vektor C jika A – 2B + C = 0. (jawaban dalam vektor satuan)

pembahasan soal nomor 2:

(a) A + B
R = A + B
R = (A_x + B_x)i + (A_y + B_y)j
R = (4 + 5)i + (7 +(-2))j
R = 9i + 5j

(b) A – B
R = A – B

R = (A_x - B_x)i + (A_y - B_y)j
R = (4 – 5)i + (7 – (-2))j
R = –i + 9j

(c) A – 2B + C = 0
A – 2B = (A_x – 2B_x)i + (A_y – 2B_y)j
A – 2B = (4 – 2(5))i + (7 – 2(-2))j
A – 2B = (4 – 10)i + (7 + 4)j
A – 2B = -6i + 11j

Maka A – 2B + C = 0
(-6i + 11j) + C = 0
C = 6i - 11j

Soal nomor 3
Seorang sedang berlari pagi dengan menempuh lintasan seperti pada gambar berikut

Tentukan resultan perpindahan yang dialami oleh orang tersebut terhadap titik mulainya!

pembahasan soal nomor 3: 

Jurus jitu:
Untuk mempermudah dalam melakukan perhitungan vektor seperti gambar di atas (biasanya terdiri lebih dari 3 gerakan) maka gambar ulang semua vektor dengan bermula dari titik pusat koordinat (0,0).
Gambar di atas dapat dilihat seperti berikut

Kemudian kita menentukan proyeksi dari S₃ dan S₄ kemudian menentukan resultan terhadap sumbu x dan sumbu y
ΣS_x = S₁ – S_3x – S_4x
ΣS_x = S₁ – S₃ cos 30⁰ – S₄ cos 60⁰
ΣS_x = 100 – 150 . ½ √3 – 200 . ½
ΣS_x = 100 – 75√3 – 100
ΣS_x = – 75√3
ΣS_x = – 129,9 m
ΣS_y = S_4y – S_3y – S₂
ΣS_y = S₄ sin 60⁰ – S₃ sin 30⁰ – S₂
ΣS_y = 200 . ½ √3 – 150 . ½ – 300
ΣS_y = 173,2 – 75 – 300
ΣS_y = – 201,8 m
Maka resultan perpindahannya adalah

Dengan arah θ = tan^-1 (ΣS_y / ΣS_x)
θ = tan^-1 ((-201,8) / (-129,9))
θ = tan^-1 (1,55)
θ = 57,2⁰
jadi jika dihitung terhadap titik mulainya, maka arah resultan perpindahannya adalah 57,2⁰ + 18⁰ = 237,2⁰

Soal nomor 4
Pada sebuah pangkalan di pelabuhan sistem radar menangkap sinyal dari sebuah kapal yang akan tenggelam yang berjarak 17,3 km dengan sudut 136⁰ dari arah utara, di saat yang bersamaan radar juga menangkap sinyal adanya pesawat penyelamat yang terbang horizontal 19,6 km dengan sudut 153⁰ terhadap arah utara dengan ketinggian 2,2 km.
(a) gambarkan posisi kapal relatif terhadap pesawat dalam dalam vektor satuan i,j,k dimana i merepresentasikan arah timur, j arah utara, dan k arah ke atas.
(b) berapa jauh jarak antara pesawat dengan kapal?

pembahasan soal nomor 4:

(a) soal di atas dapat diilustrasikan sebagai berikut!

Berdasarkan gambar di atas, kita dapat menentukan komponen vektor dari kapal dan pesawat sebagai berikut

Koordinat kapal
k_x = k cos 46⁰(searah dengan sumbu -x)
k_x = 17,3 . cos 46⁰
k_x = -12,0 km
k_y = k sin 46⁰ (searah dengan sumbu -y)
k_y = 17,3 . sin 46⁰
k_y = -12,4 km
jadi koordinat posisi kapal adalah k = -12,0i – 12,4j

koordinat pesawat
p_x = p cos 63⁰ (searah dengan sumbu -x)
p_x = 19,6 . cos 63⁰
p_x = -8,9 km
p_y = p sin 63⁰ (searah dengan sumbu -y)
p_y = 19,6 . sin 63⁰
p_y = -17,5 km
pesawat terbang di atas, jadi p_k = 2,2 km
jadi koordinat pesawat adalah
p = -8,9i – 17,5j + 2,2k

(b) jarak antara pesawat dan kapan adalah selisih vektor dari pesawat dan kapal (perhatikan garis merah pada gambar di atas)
p – k = (p_x – k_x)i + (p_y – k_y)j + (p_z – k_z)k
p – k = ((-8,9) – (-12,0))i + ((-17,5) – (-12,4))j + (2,2 – 0)k
p – k = 3,1i – 5,1j + 2,2k jarak antara pesawat terhadap kapal adalah besar dari vektor p – k

Jadi jarak antara pesawat dengan kapal adalah 6,4 km

Soal nomor 5
Resultan dua buah vektor A dan B ditentukan dalam persamaan A + B = C, jika vektor A besarnya 12 m dengan arah 40⁰ terhadap sumbu +x dan vektor C besarnya 15 m dengan arah 20⁰terhadap sumbu -x. Tentukan besar dan arah dari vektor B!

pembahasan soal nomor 5: 

Soal di atas dapat diilustrasikan sebagai berikut

Menentukan komponen vektor A dan C
A_x = A cos 40⁰
A_x = 12 cos 40⁰
A_x = + 9,2i (dalam arah sumbu +x)
A_y = A sin 40⁰
A_y = 12 sin 40⁰
A_y = + 7,7j (dalam arah sumbu +y) Maka vektor A dapat ditulis sebagai berikut A = 9,2i +7,7j

C_x = C cos 20⁰
C_x = 15 cos 20⁰
C_x = - 14i (dalam arah sumbu -x)
C_y = C sin 20⁰
C_y = 15 sin 20⁰
C_y = -5,1j (dalam arah sumbu -y)
Maka vektor C dapat ditulis sebagai berikut
C = - 14i - 5,1j

Berdasarkan persamaan A + B = C
B = (- 14i - 5,1j) – 9,2i +7,7j
B = (-14 – 9,2)i + (-5,1 – 7,7)j
B = -23,2i – 12,8)j

Jadi vektor B memiliki nilai 26,5 dengan arah 30,9⁰ terhadap sumbu +x

Soal nomor 6
Sebuah vektor A yang besarnya 12 m dengan sudut 60⁰ terhadap sumbu +x dan vektor B = 12 i + 8j (i dan j dalam meter) terletak dalam sumbu koordinat xy tentukan posisi kedua vektor tersebut jika sistem koordinatnya diputar 20⁰ terhadap sumbu x sehingga sistem koordinatnya sekarang menjadi x’y’ !

pembahasan soal nomor 6: 

Kedua vektor sebelum sistem koordinatnya diputar dapat diilustrasikan sebagai berikut!

dengan

Setelah sistem koordinatnya diputar 20⁰ terhadap sumbu x, maka gambarnya menjadi seperti ini

Perhatikan bahwa yang diputar hanya sumbu koordinatnya saja, sedangkan vektornya tetap sehingga akan terbentuk sudut antara vektor dengan sumbu koordinat yang baru (x’,y’) seperti yang terlihat pada gambar adanya sudut α (sudut antara vektor A dengan x’ dan sudut β antara vektor B dengan sumbu x’. Berdasarkan materi tentang vektor sebelumnya, besarnya sudut α dan sudut β dapat ditentukan dengan persamaan.
α = 60⁰ – 20⁰
α = 40⁰
β = 33,8⁰ – 20⁰
β = 13,8⁰
posisi kedua vektor sekarang dapat ditentukan dengan vektor komponen terhadap sumbu (x’,y’) sebagai berikut.

Vektor komponen A
A_x’ = A cos 40⁰
A_x’ = 12 cos 40⁰
A_x’ = 9,2i
A_y’ = A sin 40⁰
A_y’ = 12 sin 40⁰
A_y’ = 7,7j

Vektor komponen B
B_x’ = B cos 13,8⁰
B_x’ = 14,4 cos 13,80
B_x’ = 13,9i
B_y’ = B sin 13,8⁰
B_y’ = 14,4 sin 13,8⁰
B_y’ = 3,4j
Jadi posisi kedua vektor setelah sumbu koordinatnya diputar adalah
A = 9,2i + 7,7j
B = 13,9i + 3,4j

Demikian latihan soal beserta pembahasan lengkap tentang materi vektor semoga bermanfaat bagi para pembaca